جاري تحميل صفحة الأسئلة…
المقدمة · Introduction
الجداول القياسية والمتطابقات الأساسية
بِسْمِ اللهِ الرَّحْمٰنِ الرَّحِيمِ
هذه المحاضرات مُعدَّة لطلاب الفرقة الأولى، تغطي أساليب التكامل المختلفة. اضغط على أي باب للانتقال إليه.
١
التكامل غير المحدود
٢
الدوال المثلثية
٣
الدوال الزائدية
٤
التجزيء
٥
التعويض
٦
الكسور الجزئية
٧
إكمال المربع
٨
الاختزال
٩
التكامل المحدود
★
ملخص القوانين
◆
ملخص الأمثلة
؟
ملخص الأسئلة
الجدول القياسي للتفاضلات
| م | الدالة | المشتقة dy/dx |
|---|---|---|
| ١ | \(y=x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| ٢ | \(y=a^x\) | \(a^x \ln a\) |
| ٣ | \(y=e^x\) | \(e^x\) |
| ٤ | \(y=\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| ٥ | \(y=\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x\ln a}\) |
| ٦ | \(y=\sin x\) | \(\cos x\) |
| ٧ | \(y=\cos x\) | \(-\sin x\) |
| ٨ | \(y=\tan x\) | \(\sec^2 x\) |
| ٩ | \(y=\cot x\) | \(-\csc^2 x\) |
| ١٠ | \(y=\sec x\) | \(\sec x\tan x\) |
| ١١ | \(y=\csc x\) | \(-\csc x\cot x\) |
| ١٢ | \(y=\sin^{-1}x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| ١٣ | \(y=\cos^{-1}x\) | \(\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| ١٤ | \(y=\tan^{-1}x\) | \(\dfrac{1}{1+x^2}\) |
| ١٥ | \(y=\sinh x\) | \(\cosh x\) |
| ١٦ | \(y=\cosh x\) | \(\sinh x\) |
| ١٧ | \(y=\tanh x\) | \(\operatorname{sech}^2 x\) |
| ١٨ | \(y=\sinh^{-1}x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) |
| ١٩ | \(y=\cosh^{-1}x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\) |
| ٢٠ | \(y=\tanh^{-1}x\) | \(\dfrac{1}{1-x^2}\) |
المتطابقات المثلثية الهامة
Trigonometric Identities
\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad 1+\tan^2 x = \sec^2 x \qquad 1+\cot^2 x = \csc^2 x\]
\[\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} \qquad \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} \qquad \sin 2x = 2\sin x\cos x\]
المتطابقات الزائدية الهامة
Hyperbolic Identities
\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \qquad 1-\tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x\]
\[\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \qquad \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\]
🧠 أسئلة المقدمة
اضغط الزر لعرض الأسئلة التفاعلية مباشرةً.
الباب الأول · Chapter 1
التكامل غير المحدود
تعريف — Indefinite Integral
إذا كانت \(F'(x) = g(x)\)، فإن الدالة \(F\) تُسمى دالة مقابلة (تكامل غير محدود) للدالة \(g\):
\[\int g(x)\,dx = F(x) + c\]
حيث \(c\) ثابت اختياري يُسمى ثابت التكامل.
الجدول القياسي للتكاملات
| م | القانون |
|---|---|
| ١ | \(\displaystyle\int 0\,dx = c\) |
| ٢ | \(\displaystyle\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx\) |
| ٣ | \(\displaystyle\int \bigl[f(x)\pm g(x)\bigr]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\) |
| ٤ | \(\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c \quad (n\neq -1)\) |
| ٥ | \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+c\) |
| ٦ | \(\displaystyle\int e^x\,dx = e^x+c\) |
| ٧ | \(\displaystyle\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}+c\) |
| ٨ | \(\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x+c\) |
| ٩ | \(\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x+c\) |
| ١٠ | \(\displaystyle\int \sec^2 x\,dx = \tan x+c\) |
| ١١ | \(\displaystyle\int \csc^2 x\,dx = -\cot x+c\) |
| ١٢ | \(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x+c\) |
| ١٣ | \(\displaystyle\int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x+c\) |
| ١٤ | \(\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)|+c\) |
أمثلة محلولة
مثال ١تكامل كثيرة الحدود
▾
احسب: \(\displaystyle\int (2x^3 - 4x^2 + x)\,dx\)
١
نوزع التكامل على كل حد بالخاصية الثالثة
\[\int 2x^3\,dx - \int 4x^2\,dx + \int x\,dx\]
٢
نطبق قانون \(\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) على كل حد
\[\frac{x^4}{2} - \frac{4x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + c\]
مثال ٢جذور وكسور
▾
احسب: \(\displaystyle\int\!\left(8x^3 - 6\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx\)
١
نحوّل: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) و \(\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}\)
\[8\cdot\frac{x^4}{4} \;-\; 6\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} \;+\; \frac{x^{-1}}{-1} + c\]
\[2x^4 - 4x^{3/2} - \frac{1}{x} + c\]
مثال ٣معادلة تفاضلية
▾
أوجد الحل العام: \(\dfrac{dy}{dx} = x^2 + 1\)
١
نضرب في \(dx\): \(\;dy = (x^2+1)\,dx\)
٢
نكامل الطرفين
\[y = \frac{x^3}{3} + x + c\]
🧠 أسئلة الباب الأول
اضغط الزر لعرض الأسئلة التفاعلية لهذا الباب.
١ / ٩
الباب الثاني · Chapter 2
تكامل الدوال المثلثية
التكاملات المثلثية الأساسية
| م | التكامل | النتيجة |
|---|---|---|
| ١ | \(\displaystyle\int\sin x\,dx\) | \(-\cos x+c\) |
| ٢ | \(\displaystyle\int\cos x\,dx\) | \(\sin x+c\) |
| ٣ | \(\displaystyle\int\sec^2 x\,dx\) | \(\tan x+c\) |
| ٤ | \(\displaystyle\int\csc^2 x\,dx\) | \(-\cot x+c\) |
| ٥ | \(\displaystyle\int\sec x\tan x\,dx\) | \(\sec x+c\) |
| ٦ | \(\displaystyle\int\csc x\cot x\,dx\) | \(-\csc x+c\) |
| ٧ | \(\displaystyle\int\tan x\,dx\) | \(\ln|\sec x|+c\) |
| ٨ | \(\displaystyle\int\cot x\,dx\) | \(\ln|\sin x|+c\) |
| ٩ | \(\displaystyle\int\sec x\,dx\) | \(\ln|\sec x+\tan x|+c\) |
| ١٠ | \(\displaystyle\int\csc x\,dx\) | \(\ln|\csc x-\cot x|+c\) |
| ١١ | \(\displaystyle\int\sin^2 x\,dx\) | \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}+c\) |
| ١٢ | \(\displaystyle\int\cos^2 x\,dx\) | \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}+c\) |
| ١٣ | \(\displaystyle\int\tan^2 x\,dx\) | \(\tan x - x+c\) |
| ١٤ | \(\displaystyle\int\cot^2 x\,dx\) | \(-\cot x - x+c\) |
أمثلة محلولة
مثال ١القانون المباشر
▾
احسب: \(\displaystyle\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx\)
١
نكتب الكسر على شكل ضرب دالتين:
\[\int\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}\,dx = \int\tan x\cdot\sec x\,dx\]
\[\sec x + c\]
مثال ٢قاعدة \(\int u^n\,du\)
▾
احسب: \(\displaystyle\int\sin^7(3x)\cos(3x)\,dx\)
١
\(d(\sin 3x) = 3\cos 3x\,dx\)، فنكتب:
\[\frac{1}{3}\int\sin^7(3x)\,d(\sin 3x)\]
\[\frac{\sin^8(3x)}{24} + c\]
مثال ٣متطابقة التضاعف
▾
احسب: \(\displaystyle\int\sin^2 x\,dx\)
١
\(\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}\)
\[\frac{1}{2}\int(1-\cos 2x)\,dx = \frac{1}{2}\left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]\]
\[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c\]
مثال ٤إثبات \(\int\tan x\,dx\)
▾
أثبت أن: \(\displaystyle\int\tan x\,dx = \ln|\sec x|+c\)
١
\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)
\[-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\int\frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x|+c\]
\[\ln|\sec x| + c\]
🧠 أسئلة الباب الثاني
اضغط لعرض الأسئلة.
٢ / ٩
الباب الثالث · Chapter 3
تكامل الدوال الزائدية
تذكير بالتعريفات — Hyperbolic Functions
\[\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \qquad \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}\]
\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \qquad 1-\tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x\]
الجدول القياسي للتكاملات الزائدية
| م | التكامل | النتيجة |
|---|---|---|
| ١ | \(\displaystyle\int\sinh x\,dx\) | \(\cosh x+c\) |
| ٢ | \(\displaystyle\int\cosh x\,dx\) | \(\sinh x+c\) |
| ٣ | \(\displaystyle\int\operatorname{sech}^2 x\,dx\) | \(\tanh x+c\) |
| ٤ | \(\displaystyle\int\operatorname{csch}^2 x\,dx\) | \(-\coth x+c\) |
| ٥ | \(\displaystyle\int\operatorname{sech} x\tanh x\,dx\) | \(-\operatorname{sech} x+c\) |
| ٦ | \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\) | \(\sinh^{-1}x+c\) |
| ٧ | \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}\) | \(\cosh^{-1}x+c\) |
| ٨ | \(\displaystyle\int\frac{dx}{1-x^2}\quad(|x|<1)\) | \(\tanh^{-1}x+c\) |
مثالتكامل زائدي مركب
▾
احسب: \(\displaystyle\int\sinh^3 x\cosh x\,dx\)
١
\(d(\sinh x) = \cosh x\,dx\)
\[\int\sinh^3 x\,d(\sinh x)\]
\[\frac{\sinh^4 x}{4}+c\]
🧠 أسئلة الباب الثالث
اضغط لعرض الأسئلة.
٣ / ٩
الباب الرابع · Chapter 4
التكامل بالتجزيء
قانون التجزيء — Integration by Parts
\[\boxed{\int u\,dv = uv - \int v\,du}\]
قاعدة LIATE لاختيار u
Logarithmic → Inverse trig → Algebraic → Trigonometric → Exponential
أمثلة محلولة
مثال ١\(\int xe^x\,dx\)
▾
احسب: \(\displaystyle I = \int xe^x\,dx\)
١
\(u=x \Rightarrow du=dx\) ، \(dv=e^x dx \Rightarrow v=e^x\)
\[\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx\]
\[e^x(x-1)+c\]
مثال ٢\(\int e^x\sin x\,dx\) — تجزيء مرتين
▾
احسب: \(\displaystyle I = \int e^x\sin x\,dx\)
١
\(u=\sin x,\;dv=e^x dx\)
\[I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx\]
٢
تجزيء مرة أخرى \(u=\cos x\):
\[I = e^x\sin x - e^x\cos x - I\]
٣
نجمع \(I\) ونقسم على ٢:
\[I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}+c\]
مثال ٣\(\int\ln x\,dx\)
▾
احسب: \(\displaystyle\int\ln x\,dx\)
١
\(u=\ln x,\; dv=dx \Rightarrow v=x\)
\[\int\ln x\,dx = x\ln x - \int dx\]
\[x\ln x - x + c\]
مثال ٤\(\int\tan^{-1}x\,dx\)
▾
احسب: \(\displaystyle\int\tan^{-1}x\,dx\)
١
\(u=\tan^{-1}x,\; dv=dx\)
\[\int\tan^{-1}x\,dx = x\tan^{-1}x - \int\frac{x}{1+x^2}\,dx\]
\[x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+c\]
🧠 أسئلة الباب الرابع
اضغط لعرض الأسئلة.
٤ / ٩
الباب الخامس · Chapter 5
التكامل بالتعويض
الفكرة الأساسية — Substitution
نستبدل المتغير \(x\) بتعبير جديد \(y=g(x)\) لتحويل التكامل إلى صيغة قياسية أبسط.
أولاً: التعويضات الجبرية
مثال ١إزالة الجذر التربيعي
▾
احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{(3-x)\sqrt{x-2}}\)
١
\(y=\sqrt{x-2}\) ، \(y^2=x-2\) ، \(2y\,dy=dx\)
\[\int\frac{2y\,dy}{(1-y^2)\cdot y} = 2\int\frac{dy}{1-y^2}\]
\[2\tan^{-1}\!\sqrt{x-2}+c\]
مثال ٢تعويض الأُس
▾
احسب: \(\displaystyle\int e^x\sqrt{1+e^x}\,dx\)
١
\(y=\sqrt{1+e^x}\) ، \(y^2=1+e^x\) ، \(2y\,dy=e^x dx\)
\[\int y\cdot 2y\,dy = 2\int y^2\,dy = \frac{2y^3}{3}\]
\[\frac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}+c\]
ثانياً: التعويضات المثلثية
| الصورة | التعويض | تبسيط الجذر |
|---|---|---|
| \(\sqrt{a^2-x^2}\) | \(x=a\sin\theta\) | \(a\cos\theta\) |
| \(\sqrt{a^2+x^2}\) | \(x=a\tan\theta\) | \(a\sec\theta\) |
| \(\sqrt{x^2-a^2}\) | \(x=a\sec\theta\) | \(a\tan\theta\) |
مثال ٣تعويض \(\sqrt{a^2-x^2}\)
▾
احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
١
\(x=a\sin\theta \Rightarrow dx=a\cos\theta\,d\theta\)
\[\int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{a\cos\theta} = \int d\theta = \theta+c\]
٢
\(\theta = \sin^{-1}\dfrac{x}{a}\)
\[\sin^{-1}\!\frac{x}{a}+c\]
🧠 أسئلة الباب الخامس
اضغط لعرض الأسئلة.
٥ / ٩
الباب السادس · Chapter 6
الكسور الجزئية
شرط التطبيق
الكسر يجب أن يكون حقيقياً (درجة البسط < درجة المقام). إن لم يكن، نقسم أولاً.
الحالة الأولى — عوامل مختلفة
\[\frac{P(x)}{(x-a_1)(x-a_2)\cdots} = \frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\cdots\]
الحالة الثانية — عوامل مكررة
\[\frac{P(x)}{(x-a)^r} = \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_r}{(x-a)^r}\]
الحالة الثالثة — تربيعية غير قابلة للتحليل
\[\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\]
مثالالحالة الأولى
▾
احسب: \(\displaystyle\int\frac{3x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx\)
١
\(\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}\)
٢
\(x=1 \Rightarrow A=\dfrac{4}{3}\) ، \(x=-2 \Rightarrow B=\dfrac{5}{3}\)
\[\frac{4}{3}\ln|x-1|+\frac{5}{3}\ln|x+2|+c\]
🧠 أسئلة الباب السادس
اضغط لعرض الأسئلة.
٦ / ٩
الباب السابع · Chapter 7
إكمال المربع
متى نستخدمه؟
\[\int\frac{dx}{ax^2+bx+c} \qquad \int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \qquad \int\sqrt{ax^2+bx+c}\,dx\]
خطوات إكمال المربع
\[ax^2+bx+c = a\!\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{\!2} + \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right]\]
الصيغ القياسية الناتجة
| الصيغة | النتيجة |
|---|---|
| \(\displaystyle\int\frac{dy}{\sqrt{y^2+A^2}}\) | \(\sinh^{-1}\dfrac{y}{A}+c\) |
| \(\displaystyle\int\frac{dy}{\sqrt{y^2-A^2}}\) | \(\cosh^{-1}\dfrac{y}{A}+c\) |
| \(\displaystyle\int\frac{dy}{\sqrt{A^2-y^2}}\) | \(\sin^{-1}\dfrac{y}{A}+c\) |
| \(\displaystyle\int\frac{dy}{y^2+A^2}\) | \(\dfrac{1}{A}\tan^{-1}\dfrac{y}{A}+c\) |
مثالإكمال المربع ثم التكامل
▾
احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+13}\)
١
\(x^2+4x+13 = (x+2)^2+9\)
٢
\(y=x+2\):
\[\int\frac{dy}{y^2+9} = \frac{1}{3}\tan^{-1}\!\frac{y}{3}+c\]
\[\frac{1}{3}\tan^{-1}\!\frac{x+2}{3}+c\]
🧠 أسئلة الباب السابع
اضغط لعرض الأسئلة.
٧ / ٩
الباب الثامن · Chapter 8
الاختزال المتتالي
تعريف — Reduction Formula
قانون يُختزل فيه التكامل \(I_n\) إلى تكامل أبسط \(I_{n-2}\) من نفس الصورة لكن أقل درجة.
مثال ١اختزال \(\int\sin^n x\,dx\)
▾
اشتق قانون الاختزال لـ \(I_n = \displaystyle\int\sin^n x\,dx\)
١
\(\sin^n x = \sin^{n-1}x\cdot\sin x\) ، \(u=\sin^{n-1}x,\; dv=\sin x\,dx\)
\[I_n = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2 x\,dx\]
٢
\(\cos^2 x = 1-\sin^2 x\) ونحل لـ \(I_n\):
\[I_n = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]
مثال ٢اختزال \(\int\sec^n x\,dx\)
▾
اشتق قانون الاختزال لـ \(I_n = \displaystyle\int\sec^n x\,dx\)
١
\(\sec^n x = \sec^{n-2}x\cdot\sec^2 x\) والتجزيء واستخدام \(\tan^2 x=\sec^2 x-1\):
\[I_n = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}\]
🧠 أسئلة الباب الثامن
اضغط لعرض الأسئلة.
٨ / ٩
الباب التاسع · Chapter 9
التكامل المحدود (المُعيَّن)
قاعدة باروو — Barrow's Rule
\[\int_a^b f(x)\,dx = \Bigl[F(x)\Bigr]_a^b = F(b)-F(a)\]
الخواص الأساسية
النظريات الخمس
\[\text{(١)}\;\int_a^b c\,dx = c(b-a) \qquad \text{(٢)}\;\int_a^b cf\,dx = c\int_a^b f\,dx\]
\[\text{(٣)}\;\int_a^b [f\pm g]\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx\]
\[\text{(٤)}\;f\!\geq\!0 \Rightarrow \int_a^b f\,dx\geq 0 \qquad \text{(٥)}\;\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx\]
أمثلة محلولة
مثال ١تكامل مباشر
▾
احسب: \(\displaystyle\int_1^3 x^3\,dx\)
\[\left[\frac{x^4}{4}\right]_1^3 = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4}\]
\[= 20\]
مثال ٢تكامل مثلثي محدود
▾
احسب: \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(3\cos 4x + 7)\,dx\)
\[\left[\frac{3}{4}\sin 4x + 7x\right]_0^{\pi/2} = \frac{3}{4}\sin 2\pi + \frac{7\pi}{2}\]
\[\frac{7\pi}{2}\]
مثال ٣محدود بالتجزيء
▾
احسب: \(\displaystyle\int_0^1 xe^{2x}\,dx\)
١
\(u=x,\; dv=e^{2x}dx \Rightarrow \int xe^{2x}dx = \dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}\)
\[\left[\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}\right]_0^1 = \frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}\]
\[\frac{e^2+1}{4}\]
🧠 أسئلة الباب التاسع
اضغط لعرض الأسئلة.
٩ / ٩
★ ملخص شامل
ملخص جميع قوانين التكامل
جميع قوانين التكامل المقررة مُجمَّعة في مكان واحد للمراجعة السريعة.
التكاملات الأساسية
\[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c \quad (n\neq-1) \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+c\]
\[\int e^x\,dx = e^x+c \qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}+c \qquad \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)|+c\]
تكاملات مثلثية
\[\int\sin x\,dx = -\cos x+c \qquad \int\cos x\,dx = \sin x+c\]
\[\int\sec^2 x\,dx = \tan x+c \qquad \int\csc^2 x\,dx = -\cot x+c\]
\[\int\tan x\,dx = \ln|\sec x|+c \qquad \int\cot x\,dx = \ln|\sin x|+c\]
\[\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|+c \qquad \int\csc x\,dx = \ln|\csc x-\cot x|+c\]
\[\int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+c \qquad \int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+c\]
تكاملات الدوال العكسية
\[\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x+c \qquad \int\frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x+c\]
\[\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a}+c \qquad \int\frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}+c\]
تكاملات الدوال الزائدية
\[\int\sinh x\,dx = \cosh x+c \qquad \int\cosh x\,dx = \sinh x+c \qquad \int\operatorname{sech}^2 x\,dx = \tanh x+c\]
\[\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \sinh^{-1}x+c \qquad \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \cosh^{-1}x+c \qquad \int\frac{dx}{1-x^2} = \tanh^{-1}x+c\]
قانون التجزيء
\[\int u\,dv = uv - \int v\,du\]
\[\int xe^x\,dx = e^x(x-1)+c \qquad \int\ln x\,dx = x\ln x-x+c\]
\[\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+c \qquad \int e^x\cos x\,dx = \frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+c\]
التعويضات المثلثية
\[\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin\theta \qquad \sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan\theta \qquad \sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec\theta\]
إكمال المربع
\[ax^2+bx+c = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right]\]
\[\int\frac{dy}{y^2+A^2}=\frac{1}{A}\tan^{-1}\frac{y}{A}+c \qquad \int\frac{dy}{\sqrt{A^2-y^2}}=\sin^{-1}\frac{y}{A}+c\]
\[\int\frac{dy}{\sqrt{y^2+A^2}}=\sinh^{-1}\frac{y}{A}+c \qquad \int\frac{dy}{\sqrt{y^2-A^2}}=\cosh^{-1}\frac{y}{A}+c\]
قوانين الاختزال المتتالي
\[I_n=\int\sin^n x\,dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]
\[I_n=\int\cos^n x\,dx = \frac{\cos^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]
\[I_n=\int\sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}\]
التكامل المحدود — قاعدة باروو
\[\int_a^b f(x)\,dx = \Bigl[F(x)\Bigr]_a^b = F(b)-F(a)\]
\[\int_a^b [f\pm g]\,dx = \int_a^b f\,dx\pm\int_a^b g\,dx \qquad \int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx\]
◆ ملخص الأمثلة
ملخص جميع الأمثلة المحلولة
جميع الأمثلة المحلولة مُجمَّعة مع خطواتها الرئيسية ونتائجها للمراجعة السريعة. اضغط على أي قسم لفتحه.
الباب الأول — التكامل غير المحدود
٣ أمثلة محلولة
١احسب: \(\displaystyle\int (2x^3 - 4x^2 + x)\,dx\)
\[\int 2x^3\,dx - \int 4x^2\,dx + \int x\,dx\]
\[\frac{x^4}{2} - \frac{4x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + c\]
٢احسب: \(\displaystyle\int\!\left(8x^3 - 6\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx\)
\[8\cdot\frac{x^4}{4} - 6\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{-1}}{-1} + c\]
\[2x^4 - 4x^{3/2} - \frac{1}{x} + c\]
٣أوجد الحل العام: \(\dfrac{dy}{dx} = x^2 + 1\)
نضرب في dx ثم نكامل الطرفين
\[y = \frac{x^3}{3} + x + c\]
الباب الثاني — الدوال المثلثية
٤ أمثلة محلولة
١احسب: \(\displaystyle\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx\)
\[\int\tan x\cdot\sec x\,dx\]
\[\sec x + c\]
٢احسب: \(\displaystyle\int\sin^7(3x)\cos(3x)\,dx\)
\[\frac{1}{3}\int\sin^7(3x)\,d(\sin 3x)\]
\[\frac{\sin^8(3x)}{24} + c\]
٣احسب: \(\displaystyle\int\sin^2 x\,dx\)
نستخدم: \(\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}\)
\[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c\]
٤أثبت: \(\displaystyle\int\tan x\,dx = \ln|\sec x|+c\)
\[-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x|+c\]
\[\ln|\sec x| + c\]
الباب الثالث — الدوال الزائدية
١ مثال محلول
١احسب: \(\displaystyle\int\sinh^3 x\cosh x\,dx\)
نلاحظ أن \(d(\sinh x) = \cosh x\,dx\)
\[\int\sinh^3 x\,d(\sinh x)\]
\[\frac{\sinh^4 x}{4}+c\]
الباب الرابع — التكامل بالتجزيء
٤ أمثلة محلولة
١احسب: \(\displaystyle\int xe^x\,dx\)
\(u=x,\;dv=e^x dx\)
\[xe^x - \int e^x\,dx\]
\[e^x(x-1)+c\]
٢احسب: \(\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\)
تجزيء مرتين ثم نحل لـ I
\[I = e^x\sin x - e^x\cos x - I\]
\[\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}+c\]
٣احسب: \(\displaystyle\int\ln x\,dx\)
\(u=\ln x,\;dv=dx\)
\[x\ln x - \int dx\]
\[x\ln x - x + c\]
٤احسب: \(\displaystyle\int\tan^{-1}x\,dx\)
\(u=\tan^{-1}x,\;dv=dx\)
\[x\tan^{-1}x - \int\frac{x}{1+x^2}\,dx\]
\[x\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+c\]
الباب الخامس — التكامل بالتعويض
٣ أمثلة محلولة
١احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{(3-x)\sqrt{x-2}}\)
\(y=\sqrt{x-2}\) ، \(2y\,dy=dx\)
\[2\int\frac{dy}{1-y^2}\]
\[2\tan^{-1}\!\sqrt{x-2}+c\]
٢احسب: \(\displaystyle\int e^x\sqrt{1+e^x}\,dx\)
\(y=\sqrt{1+e^x}\) ، \(2y\,dy=e^x dx\)
\[2\int y^2\,dy = \frac{2y^3}{3}\]
\[\frac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}+c\]
٣احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
\(x=a\sin\theta \Rightarrow dx=a\cos\theta\,d\theta\)
\[\int d\theta = \theta+c\]
\[\sin^{-1}\!\frac{x}{a}+c\]
الباب السادس — الكسور الجزئية
١ مثال محلول
١احسب: \(\displaystyle\int\frac{3x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx\)
\(\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}\) ← \(A=\dfrac{4}{3},\;B=\dfrac{5}{3}\)
\[\frac{4}{3}\ln|x-1|+\frac{5}{3}\ln|x+2|+c\]
الباب السابع — إكمال المربع
١ مثال محلول
١احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+13}\)
\(x^2+4x+13=(x+2)^2+9\) ثم \(y=x+2\)
\[\int\frac{dy}{y^2+9} = \frac{1}{3}\tan^{-1}\!\frac{y}{3}+c\]
\[\frac{1}{3}\tan^{-1}\!\frac{x+2}{3}+c\]
الباب الثامن — الاختزال المتتالي
٢ مثال محلول
١اشتق قانون اختزال: \(I_n = \displaystyle\int\sin^n x\,dx\)
نجزئ: \(u=\sin^{n-1}x,\;dv=\sin x\,dx\) ثم نستبدل \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\)
\[I_n = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\]
٢اشتق قانون اختزال: \(I_n = \displaystyle\int\sec^n x\,dx\)
نجزئ: \(u=\sec^{n-2}x,\;dv=\sec^2 x\,dx\) ثم \(\tan^2 x=\sec^2 x-1\)
\[I_n = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}\]
الباب التاسع — التكامل المحدود
٣ أمثلة محلولة
١احسب: \(\displaystyle\int_1^3 x^3\,dx\)
\[\left[\frac{x^4}{4}\right]_1^3 = \frac{81}{4}-\frac{1}{4}=\frac{80}{4}\]
\[= 20\]
٢احسب: \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(3\cos 4x + 7)\,dx\)
\[\left[\frac{3}{4}\sin 4x + 7x\right]_0^{\pi/2}\]
\[\frac{7\pi}{2}\]
٣احسب: \(\displaystyle\int_0^1 xe^{2x}\,dx\)
تجزيء: \(u=x,\;dv=e^{2x}dx\)
\[\left[\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}\right]_0^1\]
\[\frac{e^2+1}{4}\]
؟ ملخص الأسئلة
ملخص جميع أسئلة التكامل
جميع الأسئلة التدريبية مُجمَّعة لكل باب مع رابط الصفحة التفاعلية.
م
أسئلة المقدمة والجداول القياسية
▾
- أوجد مشتقة الدوال الأساسية من الجدول القياسي
- تحقق من صحة المتطابقات المثلثية الأساسية
- استخدم المتطابقات لتبسيط التعابير المثلثية
- أثبت المتطابقات الزائدية من التعريفات
١
أسئلة الباب الأول — التكامل غير المحدود
▾
- احسب \(\displaystyle\int (2x^3 - 4x^2 + x)\,dx\)
- احسب \(\displaystyle\int\!\left(8x^3 - 6\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx\)
- أوجد الحل العام للمعادلة \(\dfrac{dy}{dx} = x^2 + 1\)
- احسب \(\displaystyle\int \frac{3x^2+2}{x^3+2x+1}\,dx\)
٢
أسئلة الباب الثاني — الدوال المثلثية
▾
- احسب \(\displaystyle\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx\)
- احسب \(\displaystyle\int\sin^7(3x)\cos(3x)\,dx\)
- احسب \(\displaystyle\int\sin^2 x\,dx\) باستخدام متطابقة التضاعف
- أثبت أن \(\displaystyle\int\tan x\,dx = \ln|\sec x|+c\)
- احسب \(\displaystyle\int\cos^3 x\,dx\)
٣
أسئلة الباب الثالث — الدوال الزائدية
▾
- احسب \(\displaystyle\int\sinh^3 x\cosh x\,dx\)
- احسب \(\displaystyle\int\tanh x\,dx\)
- احسب \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\)
- أثبت المتطابقة \(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\)
٤
أسئلة الباب الرابع — التجزيء
▾
- احسب بالتجزيء: \(\displaystyle\int xe^x\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int\ln x\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int\tan^{-1}x\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int x^2 e^x\,dx\)
٥
أسئلة الباب الخامس — التعويض
▾
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{(3-x)\sqrt{x-2}}\)
- احسب: \(\displaystyle\int e^x\sqrt{1+e^x}\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\) بالتعويض المثلثي
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}\)
- احسب: \(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx\)
٦
أسئلة الباب السادس — الكسور الجزئية
▾
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{3x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x-1)^2(x+2)}\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-4}\)
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{2x+1}{x(x^2+1)}\,dx\)
٧
أسئلة الباب السابع — إكمال المربع
▾
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+13}\)
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}\)
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}\)
- احسب: \(\displaystyle\int\frac{dx}{2x^2+8x+10}\)
٨
أسئلة الباب الثامن — الاختزال
▾
- اشتق قانون اختزال \(I_n = \displaystyle\int\sin^n x\,dx\)
- اشتق قانون اختزال \(I_n = \displaystyle\int\cos^n x\,dx\)
- اشتق قانون اختزال \(I_n = \displaystyle\int\sec^n x\,dx\)
- استخدم قانون الاختزال لحساب \(\displaystyle\int\sin^4 x\,dx\)
٩
أسئلة الباب التاسع — التكامل المحدود
▾
- احسب: \(\displaystyle\int_1^3 x^3\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(3\cos 4x + 7)\,dx\)
- احسب: \(\displaystyle\int_0^1 xe^{2x}\,dx\) بالتجزيء
- احسب: \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}\)
- احسب: \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx\)